Descrição e visualização de dados multivariados utilizando a base Iris

1 Introdução

A base iris (FISHER (1936)) é um dos conjuntos de dados mais clássicos e didáticos da estatística. Ela contém 150 observações (flores) de três espécies, setosa, versicolor e virginica, medidas em quatro variáveis contínuas:

  • Sepal.Length (cm)
  • Sepal.Width (cm)
  • Petal.Length (cm)
  • Petal.Width (cm)

Nosso objetivo é revisar conceitos fundamentais de Estatística Multivariada:

  • Vetor de médias
  • Matrizes de covariância e correlação
  • Variância total e generalizada
  • Matrizes de distância (euclidiana e de Mahalanobis)
  • Visualizações (pares, correlograma, heatmaps)

2 Preparação e inspeção dos dados

# Pacotes necessários
# install.packages(c("tidyverse","GGally","ggcorrplot","pheatmap","factoextra", "MatchIt"))

library(tidyverse)
library(GGally)
library(ggcorrplot)
library(pheatmap)
library(factoextra)
library(MatchIt)

# Carregar a base iris
dados <- iris
glimpse(dados)
Rows: 150
Columns: 5
$ Sepal.Length <dbl> 5.1, 4.9, 4.7, 4.6, 5.0, 5.4, 4.6, 5.0, 4.4, 4.9, 5.4, 4.…
$ Sepal.Width  <dbl> 3.5, 3.0, 3.2, 3.1, 3.6, 3.9, 3.4, 3.4, 2.9, 3.1, 3.7, 3.…
$ Petal.Length <dbl> 1.4, 1.4, 1.3, 1.5, 1.4, 1.7, 1.4, 1.5, 1.4, 1.5, 1.5, 1.…
$ Petal.Width  <dbl> 0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.4, 0.3, 0.2, 0.2, 0.1, 0.2, 0.…
$ Species      <fct> setosa, setosa, setosa, setosa, setosa, setosa, setosa, s…
summary(dados)
  Sepal.Length    Sepal.Width     Petal.Length    Petal.Width   
 Min.   :4.300   Min.   :2.000   Min.   :1.000   Min.   :0.100  
 1st Qu.:5.100   1st Qu.:2.800   1st Qu.:1.600   1st Qu.:0.300  
 Median :5.800   Median :3.000   Median :4.350   Median :1.300  
 Mean   :5.843   Mean   :3.057   Mean   :3.758   Mean   :1.199  
 3rd Qu.:6.400   3rd Qu.:3.300   3rd Qu.:5.100   3rd Qu.:1.800  
 Max.   :7.900   Max.   :4.400   Max.   :6.900   Max.   :2.500  
       Species  
 setosa    :50  
 versicolor:50  
 virginica :50  
                
                
                
# Parte numérica e variável categórica
X <- as_tibble(dados[, 1:4])
y <- dados$Species

💡 Interpretação: A base iris possui 150 observações e 5 variáveis, sendo quatro contínuas, Sepal.Length, Sepal.Width, Petal.Length e Petal.Width (em centímetros) e uma categórica, Species, com três espécies (setosa, versicolor e virginica). O resumo descritivo da base iris indica amostra balanceada por espécie (50 setosa, 50 versicolor, 50 virginica) e sugere padrões distintos entre sépalas e pétalas: Sepal.Length (4,3–7,9; Q1=5,1; mediana=5,8; média≈5,84) e Sepal.Width (2,0–4,4; Q1=2,8; mediana=3,0; média≈3,06) mostram variação moderada e distribuição quase simétrica (médias próximas às medianas), enquanto Petal.Length (1,0–6,9; Q1=1,6; mediana=4,35; média≈3,76) e Petal.Width (0,1–2,5; Q1=0,3; mediana=1,3; média≈1,20) exibem maior dispersão e assimetria à esquerda, refletindo a presença de muitas pétalas pequenas (típicas de setosa) e valores maiores nas demais espécies; isso cria um perfil “bimodal” nas pétalas, que costuma discriminar fortemente as espécies, ao passo que as medidas de sépala contribuem de forma mais moderada para a separação.

3 Vetor de médias

# Vetor de médias global
media_global <- colMeans(X)
media_global
Sepal.Length  Sepal.Width Petal.Length  Petal.Width 
    5.843333     3.057333     3.758000     1.199333 
# Vetor de médias por espécie
media_por_especie <- X %>%
  mutate(Species = y) %>%
  group_by(Species) %>%
  summarise(across(everything(), mean), .groups = "drop")
media_por_especie

💡 Interpretação: o vetor de médias representa o “centro” da nuvem de pontos. Comparar médias por espécie ajuda a perceber separações entre grupos (por exemplo, pétalas maiores em virginica). Os valores mostram o padrão clássico da iris: setosa tem pétalas bem menores (PL=1,462; PW=0,246) e sépalas relativamente mais largas (SW=3,428), além de menor comprimento de sépala (SL=5,006); virginica apresenta as maiores pétalas (PL=5,552; PW=2,026) e o maior comprimento de sépala (SL=6,588), com largura de sépala intermediária (SW=2,974); versicolor fica entre as duas em todas as medidas (PL=4,260; PW=1,326) e tem a menor largura de sépala (SW=2,770).

4 Matrizes de covariância e correlação

# Matriz de covariâncias
S <- cov(X)
S
             Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width
Sepal.Length    0.6856935  -0.0424340    1.2743154   0.5162707
Sepal.Width    -0.0424340   0.1899794   -0.3296564  -0.1216394
Petal.Length    1.2743154  -0.3296564    3.1162779   1.2956094
Petal.Width     0.5162707  -0.1216394    1.2956094   0.5810063

📈 Covariância: mede associação linear nas unidades originais. As variâncias (diagonal) indicam que a maior dispersão está em Petal.Length (3.1163), seguida de Sepal.Length (0.6857) e Petal.Width (0.5810), enquanto Sepal.Width varia menos (0.1900). Nos termos cruzados, há covariância positiva forte entre Petal.Length e Petal.Width (1.2956), e também entre Sepal.Length com Petal.Length (1.2743) e com Petal.Width (0.5163); já Sepal.Width apresenta covariâncias negativas com as demais (especialmente com Petal.Length: −0.3297).

# Matriz de correlações
R <- cor(X)
R
             Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width
Sepal.Length    1.0000000  -0.1175698    0.8717538   0.8179411
Sepal.Width    -0.1175698   1.0000000   -0.4284401  -0.3661259
Petal.Length    0.8717538  -0.4284401    1.0000000   0.9628654
Petal.Width     0.8179411  -0.3661259    0.9628654   1.0000000

📊 Correlação: padroniza a covariância (-1 a 1), útil quando variáveis têm escalas diferentes. A matriz de correlações da iris mostra que as medidas de pétala são fortemente associadas: Petal.Length e Petal.Width têm correlação muito alta (0,963) e ambas se correlacionam bastante com Sepal.Length (0,872 e 0,818), indicando forte redundância informacional entre essas variáveis; já Sepal.Width se relaciona negativamente com as demais (−0,118 com Sepal.Length, −0,428 com Petal.Length e −0,366 com Petal.Width), sugerindo um padrão em direção oposta. Em síntese, as pétalas dominam a variação e separam melhor as espécies, enquanto Sepal.Width adiciona informação complementar (e contrária), com alerta para possível multicolinearidade entre as medidas de pétala.

5 Variância generalizada e total

# Variância generalizada (determinante de S)
eigen(S)
eigen() decomposition
$values
[1] 4.22824171 0.24267075 0.07820950 0.02383509

$vectors
            [,1]        [,2]        [,3]       [,4]
[1,]  0.36138659 -0.65658877  0.58202985  0.3154872
[2,] -0.08452251 -0.73016143 -0.59791083 -0.3197231
[3,]  0.85667061  0.17337266 -0.07623608 -0.4798390
[4,]  0.35828920  0.07548102 -0.54583143  0.7536574
VG <- det(S)
VG
[1] 0.00191273

📦 VG (determinante): A variância generalizada 0,00191273 é o determinante da matriz de covariâncias S e mede o “volume” da dispersão conjunta; um valor tão pequeno indica forte colinearidade/redundância entre as variáveis, especialmente entre Petal.Length e Petal.Width, de modo que a nuvem de pontos fica “achatada” em algumas direções (um ou mais autovalores de S são pequenos, e o produto deles, o determinante, cai). Em termos práticos, isso sugere que as medidas de pétala carregam informação muito semelhante.

# Variância total (traço de S)
VT <- sum(diag(S))
VT
[1] 4.572957

🧮 VT (traço): soma das variâncias marginais = dispersão total marginal. Ela mede a dispersão global do conjunto e é dependente de escala; padronizando as variáveis (z-scores), a variância total passaria a ser \(p = 4\). Pela decomposição: Petal.Length responde por aproximadamente 68,1% da variância total, Sepal.Length responde por 15,0%, Petal.Width por 12,7% e Sepal.Width por 4,2%, confirmando que as medidas de pétala dominam a variabilidade.

6 Matrizes de distância

6.1 Distância Euclidiana

D_euclid <- euclidean_dist(data = X)
as.matrix(D_euclid)[1:6, 1:6]
          1         2        3         4         5         6
1 0.0000000 0.5385165 0.509902 0.6480741 0.1414214 0.6164414
2 0.5385165 0.0000000 0.300000 0.3316625 0.6082763 1.0908712
3 0.5099020 0.3000000 0.000000 0.2449490 0.5099020 1.0862780
4 0.6480741 0.3316625 0.244949 0.0000000 0.6480741 1.1661904
5 0.1414214 0.6082763 0.509902 0.6480741 0.0000000 0.6164414
6 0.6164414 1.0908712 1.086278 1.1661904 0.6164414 0.0000000

📏 Distância Euclidiana representa a distância geométrica entre dois pontos.

6.2 Distância de Karl Pearson

D_karlP <- scaled_euclidean_dist(data = X)
as.matrix(D_karlP)[1:6, 1:6]
          1         2         3         4         5         6
1 0.0000000 1.1722914 0.8427840 1.0999999 0.2592702 1.0349769
2 1.1722914 0.0000000 0.5216255 0.4325508 1.3818560 2.1739229
3 0.8427840 0.5216255 0.0000000 0.2829432 0.9882608 1.8477070
4 1.0999999 0.4325508 0.2829432 0.0000000 1.2459861 2.0937597
5 0.2592702 1.3818560 0.9882608 1.2459861 0.0000000 0.8971079
6 1.0349769 2.1739229 1.8477070 2.0937597 0.8971079 0.0000000

📏 Distância de Karl Pearson leva em conta as diferenças de escala.

6.3 Distância de Mahalanobis

D_mahal <- mahalanobis_dist(data = X)
as.matrix(D_mahal)[1:6, 1:6]
          1         2         3         4         5         6
1 0.0000000 1.3544572 0.9687298 1.4057253 0.5899110 1.1382566
2 1.3544572 0.0000000 0.9697905 1.4527546 1.8106890 2.4484066
3 0.9687298 0.9697905 0.0000000 0.7170009 1.1253440 1.9227214
4 1.4057253 1.4527546 0.7170009 0.0000000 1.3293220 2.2425573
5 0.5899110 1.8106890 1.1253440 1.3293220 0.0000000 0.9446158
6 1.1382566 2.4484066 1.9227214 2.2425573 0.9446158 0.0000000

📏 Distância de Mahalanobis leva em conta correlações entre variáveis e diferenças de escala.

7 Visualizações básicas

7.1 Gráfico de pares por espécie

GGally::ggpairs(bind_cols(X, Species = y),
                columns = 1:4, aes(color = Species, alpha = 0.8)) + theme_bw()

💡 Interpretação: O “pairs plot” da iris mostra que setosa tem pétalas muito pequenas e sépalas mais largas, enquanto versicolor e virginica apresentam pétalas maiores (com alguma sobreposição), e em Sepal.Width a espécie setosa desloca-se à direita, versicolor à esquerda e virginica fica intermediária. As correlações globais destacam Petal.Length vs. Petal.Width como fortíssima (≈0,96) e Sepal.Length bem associado às pétalas; já Sepal.Width aparece negativamente correlacionado no agregado. Contudo, por espécie as relações com Sepal.Width tendem a ser positivas, e os dispersogramas envolvendo medidas de pétala exibem a melhor separação entre espécies. Em síntese, as pétalas dominam a estrutura e a discriminação, com Sepal.Width fornecendo informação complementar.

7.2 Correlograma

ggcorrplot(R, hc.order = TRUE, type = "lower",
           lab = TRUE, tl.cex = 10,
           title = "Matriz de Correlações - iris")

💡 Interpretação: O mapa de correlações da iris evidencia três padrões centrais: (1) forte associação positiva entre as medidas de pétala: Petal.Length vs. Petal.Width ≈ 0,96 e também de Sepal.Length com as pétalas (≈ 0,87 e 0,82), indicando redundância informacional e provável multicolinearidade; (2) Sepal.Width apresenta correlações negativas com as demais variáveis (≈ −0,12 com Sepal.Length, −0,43 com Petal.Length e −0,37 com Petal.Width), sugerindo um eixo de variação em sentido oposto ao das pétalas; e (3) como consequência, em tarefas de PCA ou classificação, as pétalas tendem a dominar a separação entre espécies, enquanto Sepal.Width adiciona sinal complementar.

7.3 Heatmap das correlações

pheatmap(R, cluster_rows = TRUE, cluster_cols = TRUE,
         main = "Heatmap da Matriz de Correlações (iris)")

💡 Interpretação: O heatmap das correlações da iris confirma dois blocos de variáveis: (i) Petal.Length e Petal.Width fortemente positivas entre si (vermelho intenso) e também bem alinhadas com Sepal.Length (vermelho), formando um grupo altamente correlacionado que indica redundância e tende a dominar a variação; (ii) Sepal.Width aparece em azul frente às demais, mostrando correlação negativa moderada, o que a isola no dendrograma e sugere um eixo complementar de informação. Em termos práticos, as pétalas são as melhores para discriminar espécies (e podem sofrer multicolinearidade), enquanto Sepal.Width acrescenta sinal em direção oposta.

8 Referências Bibliográficas

FISHER, R. A. 1936. “THE USE OF MULTIPLE MEASUREMENTS IN TAXONOMIC PROBLEMS.” Annals of Eugenics 7 (2): 179–88. https://doi.org/https://doi.org/10.1111/j.1469-1809.1936.tb02137.x.